福島民報力だめし(2016数学44)2乗に比例する関数・相似

数学の44回目は、関数y=ax2と相似な図形の範囲からです。

【1】小問題

(1)
y=ax2にx=3,y=45を代入。
45=9a
5=a
y=5x2にx=-7を代入、y=5×49=245

(2)
x=-4のとき、y=-48
x=-3のとき、y=-27
xの増加量-4-(-3)=-1
yの増加量-48-(-27)=-21
よって変化の割合は21/1=21

(3)
-2と5について、0からの距離が大きいのは5
x=5のとき、y=25/4
よってyの変域は
0≦y≦25/4

(4)
x=3のとき、y=6
x=6のとき、y=24
xの増加量6-3=3
yの増加量24-6=18
よって平均の速さは18÷3=6(m/秒)

(5)
相似比はP:Q=2:3
面積比は相似比の2乗に等しいのでP:Q=22:32=4:9

【2】平行線と三角形/平行線と線の比

(1)AD:DE=AB:BCより、
20:14=(20+x):21
14(20+x)=420
20+x=30
x=10

(2)AB:AC=AD:AEより
12:x=16:24=2:3
2x=36
x=18

(3)AH:HE=BC:CEより、
x:y=10:20=1:2
y=2x・・・①
AH:HC=DE:ECより
x:(20-y)=15:20=3:4
4x=3(20-y)・・・②

①を②に代入
4x=3(20-2x)=60-6x
10x=60
x=6・・・③
③を①に代入
y=12

(4)
6:(10-4)=(6+x):(20-4)より、
1:1=(6+x):16
6+x=16
x=10
また、6:x=y:(16-y)より、x=10を代入して整理すると、
10y=6(16-y)=96-6y
16y=96
y=6

【3】証明問題(平行四辺形)

中点連結定理から平行四辺形であることを証明する問題です。

問題文の内容を図形に書きこんで考えましょう。

書き込むのが困難な場合は空いている場所に新たにかいてみます。

今回は以下の図のように書き込めればPR=SQかなあということが分かってくると思います。

模範解答に証明の例が載っていますので、確認してください。

平行四辺形になるための条件は覚えておきましょうね。

【4】関数y=ax2の利用

(1)
y=3/2x2にy=6を代入します。
6=3/2x2
12=3x2
x2=4
x>0よりx=2
よってA(2,6)

(2)
点Bはy軸に関して点Aと対称の位置にあるので、B(-2,6)
よってAB=4
底辺をABとすると高さは6なので、三角形OABの面積は
4×6×1/2=12

(3)
四角形ABCDは正方形で、(2)よりAB=4なのでAD=4

(4)
点Dの座標は点Aのy座標から4を引いて2、x座標は点Aと同じ2です。

y=ax+bとおくと
点Dをとおるので、2=2a+b・・・①
また、点Bをとおるので、6=-2a+b・・・②
①-②より
-4=4a,a=-1
①+②より、
8=2b,b=4
よって、直線BDの式はy=-x+4

(5)
y=ax^2は点Dをとおるので、x=2,y=2を代入。
2=4a
a=1/2


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