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福島民報力だめし(2016数学42)~式の計算、平方根、2次方程式~

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数学の42回目は式の計算、平方根、2次方程式です。

やはりこの時期は計算問題よりも文章問題重視ですね。

できるできないがはっきり分かれますから。

計算問題はまず問題ないでしょうから、【3】の文章題から解説しましょう。

【3】(1)平方根

ルートの中だけを比較します。

5<x2<60

次に、同じ数字を2回かけて、5より大きく、60より少なくなる数を探します。

x=3,3×3=9
x=4,4×4=16
x=5,5×5=25
x=6,6×6=36
x=7,7×7=49
x=8,8×8=64

以上より、x=3,4,5,6,7となります。

【3】(2)平方根

値が整数となるためには、

a=2x〇x〇 (〇は整数)・・・①

というように、必ず2という数が入ります。

これが100以上200以下の整数になるので、(1)のように不等式で表すと、

100≦2x〇x〇≦200

全体を2で割って、

50≦〇x〇≦100

先ほどのように同じ数をかけて、50以上100以下になる数を探しましょう。

〇=8,8×8=64
〇=9,9×9=81
〇=10,10×10=100

ここで出した〇の値を①の式に代入します。

〇=8のときa=2x8x8=128
〇=9のときa=2x9x9=162
〇=10のときa=2x10x10=200

よって、a=128,162,200です。

【3】(3)式の計算

まず式を因数分解して、

(x+y)(x-y)+xyとします。

次にx+y,x-y,xyの値を計算します。

x+y=ルート3
x-y=ルート5
xy=-1/2

となるので、これらを因数分解した先ほどの式に代入します。

(ルート3)×(ルート5)-1/2=ルート15-1/2

となります。

【3】(4)式の計算

連続する2つの正の奇数をそれぞれ2n-1,2n+1(nは自然数)とします。

2つの積が195なので、

(2n-1)(2n+1)=195

これを展開します。

4n2-1=195

移項して、

4n2=196

4で割って、

n2=49

n>0より、n=7、これを2n-1,2n+1に代入すると、

2n-1=2×7-1=13
2n+1=2×7+1=15

よって、求める2つの奇数は、13と15です。

【3】(5)2次方程式

2次方程式の解が一つになるという場合は、

(x-●)2=0と考えられます。

この式を展開すると、

x2-2・●・x+●2=0

となるので、

x2-6x+a=0と比べてみると、

2・●=6
2=a

ですね。よって、●=3、a=32=9となるので、a=9が答えとなります。

【4】2次方程式の利用(面積に関する問題)

縦の長さをxとすると、長さの比1:4から横の長さは4xになります。

もとの長方形の面積は
x×4x=4x

もとの長方形より25%増えた場合の面積は
4x×(1+0.25)=5x・・・①

また、縦の長さが1センチ短く、横の長さが12センチ長い場合の面積は
(x-1)(4x+12)=4x+8x-12・・・②

①=②より、すべて左辺に移項し整理すると、
-8x+12=0

因数分解して
(x-2)(x-6)=0

x=2,6
これはx>0を満たしている。

よって縦の長さは、2センチ、6センチとなります。

【5】解説が解答にありますので省略します。

入試の過去問を、見てみると2次方程式の過去問って、数、面積、体積の場合が多いんですよね。今回の【4】の問題もそのことを意識していると思います。

別の記事で、連立方程式の対策問題を出していますが、2次方程式についても何か対策を考え中です(‘ω’)ノ

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