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福島民報力だめし(2016数学41) ~式の計算・場合の数~

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力だめしの数学です。41回目は、式の計算と場合の数が主な問題になりますね。

【1】式の計算・因数分解

(1)解答例があるため省略

(2)ルート3の小数部分を式に代入する問題

1<ルート3<2なので、ルート3の整数部分は1。

小数部分はルート3から1を引いた残りなので、(ルート3)‐1となります。

このままxに代入してもよいのですが、x=(ルート3)-1の-1を左辺に移項して両辺を2乗した方が楽ですね。

(x+1)2=(ルート3)2
すなわち、
x2+2x+1=3となるので、答えは3です。

(3)因数分解の問題

式を展開してから答えてもいいのですが、4分の1が2分の1の2乗ということが分かれば因数分解の公式が使えます。
a2-b2=(a+b)(a-b)
の式に、
a=x+3/2,b=1/2
を代入して、
(x+3/2+1/2)(x+3/2-1/2)=(x+2)(x+1)

【2】式の計算の利用

解答に証明の例がありますので省略します。

【3】式の計算の利用

【2】と同じく証明問題ですが、あてはまる値や式を答えます。

(ア) 1とn、2と(n-1)、3と(n-2)がそれぞれ対応していますので、足してみましょう。すべてn+1になります。

(イ) 1,2,3・・・nまでの個数をきいているので、nが入ります。

(ウ) (ア)と(イ)の値をかけます。n×(n+1)=n(n+1)ですね。直前の文に「和」とありますが間違って足さないようにしましょう。間違った人は問題文をよく読んでくださいね。

(エ) (ウ)の値を2で割ればよいので、1/2n(n+1)ですね。

【4】場合の数

女子をA、B、Cさん、男子をDくんとします。

(1)生徒会長1人、副会長1人の選び方

(会長、副会長)=(A,B),(A,C),(A,D),(B,A),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)の12通り。

(2)(1)のとき男子が入る選び方

(会長、副会長)=(A,D),(B,D),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)の6通り。

(3)書記2人の選び方

(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)の6通り。

【5】場合の数、確率(塗り分け)

(1)全部の塗り分け方

樹形図を作ると大変なので、考え方だけ書きます。

①すべて違う色を塗る場合

aの色を4色から1つ選ぶ。

bの色をaの色を除いた3色から1つ選ぶ。

cの色をa,bの色を除いた2色から1つ選ぶ。

塗り分け方は4×3×2=24通り。

②2色だけ使う場合

同じ色が隣り合わないので、a,cが同じ色になります。

a,cの色を4色から1つ選ぶ。

bの色をa,cの色を除いた3色から選ぶ。

塗り分け方は4×3=12通り。

①と②より、24+12=36通りです。

(2)確率の問題

全ての塗り分け方が(1)より36通り。

aとcが同じ色になる塗り分け方は(1)②より12通り。

よって求める確率は12/36=1/3(3分の1)となります。

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