力だめしの数学です。41回目は、式の計算と場合の数が主な問題になりますね。
【1】式の計算・因数分解
(1)解答例があるため省略
(2)ルート3の小数部分を式に代入する問題
1<ルート3<2なので、ルート3の整数部分は1。
小数部分はルート3から1を引いた残りなので、(ルート3)‐1となります。
このままxに代入してもよいのですが、x=(ルート3)-1の-1を左辺に移項して両辺を2乗した方が楽ですね。
(x+1)2=(ルート3)2
すなわち、
x2+2x+1=3となるので、答えは3です。
(3)因数分解の問題
式を展開してから答えてもいいのですが、4分の1が2分の1の2乗ということが分かれば因数分解の公式が使えます。
a2-b2=(a+b)(a-b)
の式に、
a=x+3/2,b=1/2
を代入して、
(x+3/2+1/2)(x+3/2-1/2)=(x+2)(x+1)
【2】式の計算の利用
解答に証明の例がありますので省略します。
【3】式の計算の利用
【2】と同じく証明問題ですが、あてはまる値や式を答えます。
(ア) 1とn、2と(n-1)、3と(n-2)がそれぞれ対応していますので、足してみましょう。すべてn+1になります。
(イ) 1,2,3・・・nまでの個数をきいているので、nが入ります。
(ウ) (ア)と(イ)の値をかけます。n×(n+1)=n(n+1)ですね。直前の文に「和」とありますが間違って足さないようにしましょう。間違った人は問題文をよく読んでくださいね。
(エ) (ウ)の値を2で割ればよいので、1/2n(n+1)ですね。
【4】場合の数
女子をA、B、Cさん、男子をDくんとします。
(1)生徒会長1人、副会長1人の選び方
(会長、副会長)=(A,B),(A,C),(A,D),(B,A),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)の12通り。
(2)(1)のとき男子が入る選び方
(会長、副会長)=(A,D),(B,D),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)の6通り。
(3)書記2人の選び方
(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)の6通り。
【5】場合の数、確率(塗り分け)
(1)全部の塗り分け方
樹形図を作ると大変なので、考え方だけ書きます。
①すべて違う色を塗る場合
aの色を4色から1つ選ぶ。
bの色をaの色を除いた3色から1つ選ぶ。
cの色をa,bの色を除いた2色から1つ選ぶ。
塗り分け方は4×3×2=24通り。
②2色だけ使う場合
同じ色が隣り合わないので、a,cが同じ色になります。
a,cの色を4色から1つ選ぶ。
bの色をa,cの色を除いた3色から選ぶ。
塗り分け方は4×3=12通り。
①と②より、24+12=36通りです。
(2)確率の問題
全ての塗り分け方が(1)より36通り。
aとcが同じ色になる塗り分け方は(1)②より12通り。
よって求める確率は12/36=1/3(3分の1)となります。
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