福島民報力だめし（2016数学41）　～式の計算・場合の数～

力だめしの数学です。41回目は、式の計算と場合の数が主な問題になりますね。

【１】式の計算・因数分解

（１）解答例があるため省略

（２）ﾙｰﾄ3の小数部分を式に代入する問題

1＜ﾙｰﾄ3＜2なので、ﾙｰﾄ3の整数部分は1。

小数部分はﾙｰﾄ3から1を引いた残りなので、（ﾙｰﾄ3）‐1となります。

このままxに代入してもよいのですが、x=（ﾙｰﾄ3）-1の-1を左辺に移項して両辺を2乗した方が楽ですね。

(x+1)²=(ﾙｰﾄ3)²
すなわち、
x²+2x+1=3となるので、答えは3です。

（３）因数分解の問題

式を展開してから答えてもいいのですが、４分の１が２分の１の２乗ということが分かれば因数分解の公式が使えます。
a²-b²=(a+b)(a-b)
の式に、
a=x+3/2,b=1/2
を代入して、
(x+3/2+1/2)(x+3/2-1/2)=(x+2)(x+1)

【２】式の計算の利用

解答に証明の例がありますので省略します。

【３】式の計算の利用

【２】と同じく証明問題ですが、あてはまる値や式を答えます。

（ア)　1とn、2と(n-1)、3と(n-2)がそれぞれ対応していますので、足してみましょう。すべてn+1になります。

（イ）　1,2,3・・・nまでの個数をきいているので、nが入ります。

（ウ）　（ア）と（イ）の値をかけます。n×(n+1)=n(n+1)ですね。直前の文に「和」とありますが間違って足さないようにしましょう。間違った人は問題文をよく読んでくださいね。

（エ）　（ウ）の値を２で割ればよいので、1/2n(n+1)ですね。

【４】場合の数

女子をＡ、Ｂ、Ｃさん、男子をＤくんとします。

（１）生徒会長１人、副会長１人の選び方

（会長、副会長）＝(A,B),(A,C),(A,D),(B,A),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)の12通り。

（２）（１）のとき男子が入る選び方

（会長、副会長）＝(A,D),(B,D),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)の6通り。

（３）書記２人の選び方

(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)の6通り。

【５】場合の数、確率（塗り分け）

（１）全部の塗り分け方

樹形図を作ると大変なので、考え方だけ書きます。

①すべて違う色を塗る場合

aの色を４色から１つ選ぶ。

bの色をaの色を除いた３色から１つ選ぶ。

cの色をa,bの色を除いた２色から１つ選ぶ。

塗り分け方は４×３×２＝２４通り。

②２色だけ使う場合

同じ色が隣り合わないので、a,cが同じ色になります。

a,cの色を４色から１つ選ぶ。

bの色をa,cの色を除いた３色から選ぶ。

塗り分け方は４×３＝１２通り。

①と②より、24+12=36通りです。

（２）確率の問題

全ての塗り分け方が（１）より36通り。

aとcが同じ色になる塗り分け方は（１）②より12通り。

よって求める確率は12/36＝1/3（3分の1）となります。