民報チャレンジ2019【数学17】場合の数、文字式の利用

数学の17回目。
(1)から(3)までの計算問題は省略して、(4)の連立方程式から解説します。

(3)連立方程式

3x+5y=-45・・・①
5x-8y=-26・・・②

①×8+②×5
24x+40y=-360
25x-40y=-130

49x=-490
x=-10・・・③

③を①に代入
-30+5y=-45
5y=-15
y=-3

したがって、x=-10,y=-3

(5)場合の数

球に書かれた文字と箱に書かれた文字が4つとも異なる入れ方を樹形図で考えればわかります。

組み合わせは、箱の並びを
A,B,C,Dの順番とすると、球の並びは、

B-A-D-C
B-C-D-A
B-D-A-C
C-A-D-B
C-D-A-B
C-D-B-A
D-A-B-C
D-C-A-B
D-C-B-A

の9通りになります。

(6)文字式の利用

1.

正方形と竹ひごの関係をまず考えましょう。

正方形1個に使う竹ひごの数は4本です。

2個では7本、3個では10本と正方形が1個増えるごとに竹ひごは3本必要になります。

すなわち、
正方形1個　→　竹ひご4本
正方形2個　→　竹ひご4+3(本)
正方形3個　→　竹ひご4+3+3(本)

と、いうように最初の4本に(正方形の個数－1)回だけ3をかけることになります。

正方形x個の場合、最初の4に(x－1)回だけ3を掛けますので、
4+3(x-1)
=3x+1

と表わせます。
この式にx=250を代入して、

3×250+1
=751(本)

2.

1.と同じように立方体と竹ひごの関係を考えます。

立方体1個に使う竹ひごの数は12本。
2個では20本、3個では28本と1個増えるごとに8本必要になります。

よって、最初の12本に(立方体の数－1)回だけ8をかけることになるのがわかります。

立方体n個の場合は、最初の12に(n－1)回だけ8をかけますので、
12+8(n-1)
=8n+4

と表わせます。問題文では竹ひごは436本使っていますので、
8n+4=436

という方程式を解けばよいですね。

8n=432から、n=54
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