N.Kaneta BLOG

家庭教師の仕事内容や、中学校問題の解き方を教えます。

Home » 福島民報力だめし(2016年まで) » 数学 » 福島民報力だめし(2016数学40)~三平方の定理、図形~

福島民報力だめし(2016数学40)~三平方の定理、図形~

calendar

reload

福島民報力だめし(2016数学40)~三平方の定理、図形~

数学の40回目。
主に使用するのは、三平方の定理と、直角三角形の辺の比です。これに平面図形、空間図形を組み合わせた問題を解いていきます。

【1】直角三角形の辺を求める問題

(1)x2=122+92=144+81=225=152
よって、x=15

(2)まず値のわからない辺の長さを求めましょう。
72-22=45ですね。
次にxの値を求めましょう。

x2=62+45=81=92
よって、x=9

(3)と(4)30度、60度、90度の直角三角形の辺の比と、45度、45度、90度の直角三角形の辺の比から計算しましょう。

(3)どちらの三角形も辺ACが共通であることがポイントです。
まずAB:AC=2:ルート3、AB=4から、
AC=2ルート3・・・①

また、CD:AC=1:ルート2、CD=xから、
AC=ルート2x・・・②
①=②より、x=ルート6となります。

(4)∠DBCが30度なので、15度を足した∠ABCは45度ですね。ですので、三角形ABCは45度、45度、90度の直角二等辺三角形ということがわかれば後は簡単ですね。
AC=BC=3、BC:CD=ルート3:1から、CD=ルート3ですので、
x=AC-CD=3-ルート3
となります。

【2】三平方の定理の文章題

(1)長方形の対角線の長さ

求める長さをxとすると、
x2=52+122=169=132
よって13センチメートルです。

(2)点AB間の距離

AB間の距離をxとすると、
x2=(4-2)2+(3-1)2=8=(2ルート2)2
よって、2ルート2となります。

(3)正三角形の面積

正三角形の頂点の一つから残りの辺に垂線をひくと、30度、60度、90度の直角三角形が2つできます。一番長い辺の長さが6なので、高さに値する辺の長さは3ルート3です。
よって面積は、6×3ルート3×1/2=9ルート3となります。

(4)立方体の対角線

一辺が10なので、対角線の長さの2乗は、縦の2乗、横の2乗、高さの2乗を足した値になります。
102+102+102=300=(10ルート3)2

(5)円錐の体積

底面積:4×4×π=16π
高さ:122-42=128=(8ルート2)2より、8ルート2
よって、体積は、
16π×8ルート2×1/3=128ルート2 π/ 3(3分の128ルート2π)です。

【3】長方形を頂点が重なるように折った図形の問題

よく学校のワークやプリントに見られるような問題です。

(1)AEの長さ

AE=xとすると、ED=EB=18-xとなるので、三平方の定理より、
x2+122=(18-x)2
これを解いて、
x2+144=x2-36x+324
36x=180
x=5
よって、AE=5 となります。

(2)三角形BFEの面積

これは、EB=BFということがわかれば簡単ですね。
∠DEF=∠BFE(錯角)
∠DEF=∠BEF(折り目の線EFが∠BEDの二等分線になります)
よって、三角形BEFはEB=FBの二等辺三角形です。

EBの長さは、(1)より、18-5=13なので、三角形BFEは底辺が13、高さが12の三角形ですね。
よって、13×12×1/2=78となります。

【4】三角柱を使った問題

(1)線分AFの長さ

AF2=AC2+CF2=AB2+AC2+AD2=144+25+81=250=(5ルート10)2
よって、5ルート10

(2)四角錐A-BCFEの体積

BCEFの面を下にして考えましょう。
BCEFの面積(底面積):9×5=45
AB(高さ):12
よって、求める体積は、45×12×1/3=180
となります。

(3)線分EHの長さ

AEの長さを求めます。
AE2=92+122=81+144=225=152より、
AE=15
次に三角形AEFの面積を求めます。
AE×EF×1/2=15×5×1/2=75/2
これより、AFを底辺、EHを高さとして三角形AFEの面積を求める式を作ってみると、
5ルート10×EH×1/2=75/2
となります。この式を変形してEHを求めればいいですね。
両辺を2倍して、5ルート10で割れば、線分EHは2分の3ルート10です。

(4)線分DIの長さ

まず四角錐D-AEFの体積を求めます。DEFを底面積、ADを高さとすると、体積は、
12×5×1/2×9×1/3=90
次に、三角形AEFを底面積とみた場合の体積の式を考えます。(3)より三角形AFEの面積は75/2(2分の75)でした。DIを高さとすると、90が体積なので、
75/2×DI×1/3=90
となります。両辺を6倍して、
75DI=540
両辺を75で割って、
DI=540÷75=36/5(7.2)となります。

folder 最近読んだ本

親として大切なこと

No Image

more...