民報チャレンジ2018【数学44】2乗に比例する関数

(1)から(4)までは、計算問題なので、省略し(5)を解説します。

(5)2乗に比例する関数

(ｱ)

まず点Aの座標を求めます。

点Aはy＝x²上にあり、x座標は2なので、y座標は2²＝4。

よって、点A(2,4)

次に点Bの座標を求めてみます。

問題文から線分ABはy軸に平行です。よって点Bのx座標は点Aと同じ2。また問題文からy座標は－2なので、これを曲線②の式に代入します。

－2＝a×2²

よって、a＝－1/2

(ｲ)直線の式

まず点Cの座標を求めます。

点Cのy座標は点Bと同じく－2。また点Cは曲線②上にあるので、(ｱ)で求めた式にy＝－2を代入してxを求めます。

点Bと点Cは、y軸を線対称の軸として対称の位置にあることから、座標を求めてもいいですね。

点Cの座標は(－2,－2)。また点A(2,4)より、直線の式を求めます。

まずは傾きから。

ｙの増加量は、4－(－2)＝6
ｘの増加量は、2－(－2)＝4

よって傾きは、6/4＝3/2（2分の3）

y＝3/2x＋nとして、点Aの座標を代入して切片を求めます。

4＝3/2×2＋n

n＝4－3
＝1

したがって、線分ACの式はy＝3/2x＋1

(ｳ)三角形の面積比

・点Dの座標を出します。

点Dのｙ座標は点Aと等しいので4です。

点D(0,4)

・線分BDの式を求めます。

線分ACのときと同じように傾きから。

ｙの増加量は、4－(－2)＝6
ｘの増加量は、0－2＝－2

よって傾きは、6/－2＝－3

切片は点Dのy座標なので、4

したがって、線分BDの式はy＝－3x＋4

・点Eのx座標を求めます。
点Eは、線分ACと線分BDの交点なので、2つの直線の式から座標を出します。

2つの式からyを消去すると、
3/2x＋1＝－3x＋4なので、

9/2x＝3より、x＝2/3(3分の2)です。

y座標はこの問題では使用しないので求めないことにします。

・点Fの座標を求めます。

点Fはy＝－3x＋4上にあり、x軸上にあります。よってy＝0を代入すると、

0＝－3x＋4
3x＝4
x＝4/3

したがって、点F(4/3,0)

・三角形CDEの面積
y軸で三角形を2つに分けて、y軸の部分をそれぞれの底辺とすると、面積は

(4－1)×2×1/2+(4－1)×2/3×1/2
＝3+1
＝4

・三角形ABFの面積
線分ABを底辺とみると、面積は

6×(2－4/3)×1/2
＝6×2/3×1/2
＝2

したがって三角形CDEと三角形ABFの面積の比は、4：2＝2：1です。

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