民報チャレンジ2018【数学36】関数のグラフ

説明が必要と思われる、【3】の問題のみ解説します。

【3】

(1)反比例の式

曲線①は、点Aをとおるので、点Aの座標、すなわちx=1、y=12をy=a/xに代入しaを求めます。

12=a/1=aなので、a=12

(2)直線の式

点Dの座標をまず求めます。

点Dはx軸上にあるので、y=0になります。

次にxの値です。点Dは直線y=-x-3上にあるので、y=0を代入するとxの値が出ます。

0=-x-3
x=-3

よって点D(-3,0)

直線ADの式をy=mx+nとすると、
点A(1,12)、点D(-3,0)を通るので、それぞれの値を代入し、mとnの式にすると、

12=m+nなので、m+n=12・・・①
0=-3m+nなので、-3m+n=0・・・②

①-②
4m=12
m=3・・・③

③を①に代入
n=12-3
=9

したがって、直線ADの式は、
y=3x+9

(3)等積変形

三角形ABC、三角形ABEの面積の具体的な値を求めるのは大変なので、求めることはやめましょう。

それよりも、直線ABを底辺として、点C点Eの高さが等しくなるように考えます。

その場合、直線ABの傾きと、直線CEの傾きが等しくなれば、それぞれの三角形の高さは変わらなくなります。

直線ABの傾きは、点A(1,12)、点B(6,2)なので、

(yの増加量)÷(xの増加量)
=(12-2)÷(6-1)
=10÷5
2・・・(ア)

直線CEの傾きを求めます。
点Cは線分CDがy軸に平行なので、x座標は点Dとおなじ-3。
また点Cは曲線①上にあるので、y座標は12÷(-3)=-4。

よって、点C(-3、-4)

次に点Eはy軸上の負の部分にあるので、(t,0)とおくと(t<0)、その傾きは、 (yの増加量)÷(xの増加量) ={0-(-4)}÷{t-(-3)} =4÷(t+3)・・・(イ) (ア)=(イ)なので 4÷(t+3)=2 t+3=2より、t=-1 これはt<0の条件に合います。 したがって、t=-1 点Eの座標は(-1,0)です。

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