大学入試センター試験の解説(数学ⅡBその2)

前回の続きです。大問の3と4を解説します。
教えている生徒がわからなかった部分のみですm(_ _)m


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第3問(3) 数列の問題

xr=64
xr+xr2+xr3=336

この2つの式からxを消去します。

x=64/rを代入し、両辺にrをかけると、

64r2-272r+64=0

両辺を16で割ると、4r2-17r+4=0

因数分解して、(4r-1)(r-4)=0

r>1より、r=4

xr=64にr=4を代入して、x=16

数列{tn}の一般項を求める問題

第1項は2・42
第2項は3・43
第3項は4・44となるので、

第n項は(n+1)・4n+1となりますね。

よってス、セには1が入ります。

数列{tn}の和Unの一般項を求める問題

問題文に書かれているUn-4Unがヒントです。

Un=2・42+3・43+4・44+・・・+(n+1)4n+1
4Un= +2・43+3・44+・・・+n・4n+1+(n+1)4n+2

とあらわされるので、上の式から下の式を引くと、
Un-4Un=2・42+43+44+・・・4n+1-(n+1)・4n+2となります。

これを計算すると、
-3Un=16+16(4n-1)/(4-1)-(n+1)・4n+2

-3Un=32/3+(-3n-2)/3・4n+2
となりますので、両辺を-3で割ると、一般項が完成しますね。

Un=-32/9+(3n+2)/9・4n+2

第4問(3) ベクトルを使った問題

(1)と(2)は生徒は完答したようですので、ここでは特に解説はしません。

ベクトルEPを求める問題

点Eの座標は、正六角形の頂点であることから、(-1、-ルート3)ということがわかります。

また直線BFは直線x=1なので、点Pの座標は(1,a)ということがわかります。
よってベクトルEPは、
(1,a)-(-1,-ルート3)=(2,a+ルート3)となりますね。

点Hの座標を求める問題

点Hのy座標は問題文よりaとわかりますので、座標を(s,a)とします。

次にベクトルCHを求めます。
点C(-1,ルート3)なので、ベクトルCHは、
(s,a)-(-1,ルート3)=(s+1,a-ルート3)です。

ベクトルEPとベクトルCHは垂直ですので、内積は0ですね。よって、
2(s+1)+(a+ルート3)・(a-ルート3)=0

2s+2+a2-3=0より、

s=(-a2+1)/2となります。

以上から点Hの座標は、((-a2+1)/2,a)です。

ベクトルOPとベクトルOHのなす角をθとしcosθ=12/13を与えられたとき、aの値を求める問題

三角形OHPの図をしっかりと書いてみましょう。
そして辺の長さをはかってみると、

OH=HP=(a2+1)/2

となることに気が付けば、あとは簡単ですね。
二等辺三角形を描いて、点Hから辺OPに垂線を引いてください。

OP=ルート(a2+1)ですから、

OH:1/2OP=13:12となりますので、

これをaの式にすると、

12(a2+1)=13ルート(a2+1)

となります。両辺を2乗すると、

144(a2+1)2=169(a2+1)

次数を低くするために、a2=tとでもしましょう。すると、

144(t2+2t+1)=169(t+1)

と計算が楽になります。これを整理すると、

144t2+119t-25=0

因数分解して、

(144t-25)(t+1)=0

t≧0より、t=25/144

aの式に戻せば、

a=±5/12

となりますね。

・・・これで解説は以上です。

生徒に以上のような感じで授業を進めたところ、大学入試センター試験の数学の解説だけで2時間かかってしまいました。

次回は英語かな?それとも大学の2次試験の過去問なのだろうか?

いずれにしても、またブログに解き方を書く予定でいます(#^^#)


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