大学入試センター試験の解説（数学ⅡＢその２）

前回の続きです。大問の３と４を解説します。
教えている生徒がわからなかった部分のみですm(_ _)m
[ads_code_5]

第３問（３）　数列の問題

xr=64
xr+xr²+xr³=336

この２つの式からxを消去します。

x=64/rを代入し、両辺にｒをかけると、

64r²-272r+64=0

両辺を16で割ると、4r²-17r+4=0

因数分解して、(4r-1)(r-4)=0

r>1より、r=4

xr=64にr=4を代入して、x=16

数列{tn}の一般項を求める問題

第1項は2・4²
第2項は3・4³
第3項は4・4⁴となるので、

第n項は(n+1)・4ⁿ⁺¹となりますね。

よってス、セには1が入ります。

数列{tn}の和Unの一般項を求める問題

問題文に書かれているUn-4Unがヒントです。

Un=2・4²+3・4³+4・4⁴＋・・・+(n+1)4ⁿ⁺¹
4Un= +2・4³+3・4⁴＋・・・+n・4ⁿ⁺¹+(n+1)4ⁿ⁺²

とあらわされるので、上の式から下の式を引くと、
Un-4Un=2・4²+4³+4⁴+・・・4ⁿ⁺¹-(n+1)・4ⁿ⁺²となります。

これを計算すると、
-3Un=16+16(4ⁿ-1)/(4-1)-(n+1)・4ⁿ⁺²
↓
-3Un=32/3+(-3n-2)/3・4ⁿ⁺²
となりますので、両辺を-3で割ると、一般項が完成しますね。

Un=-32/9+(3n+2)/9・4ⁿ⁺²

第４問（３）　ベクトルを使った問題

（１）と（２）は生徒は完答したようですので、ここでは特に解説はしません。

ベクトルＥＰを求める問題

点Ｅの座標は、正六角形の頂点であることから、（-1、-ルート3）ということがわかります。

また直線ＢＦは直線x=1なので、点Ｐの座標は（1,a）ということがわかります。
よってベクトルＥＰは、
（1,a）-（-1,-ルート3）＝（2,a+ルート3）となりますね。

点Ｈの座標を求める問題

点Ｈのｙ座標は問題文よりａとわかりますので、座標を（s,a）とします。

次にベクトルＣＨを求めます。
点Ｃ（-1,ルート3）なので、ベクトルＣＨは、
（s,a）-（-1,ルート3）=（s+1,a-ルート3）です。

ベクトルＥＰとベクトルＣＨは垂直ですので、内積は0ですね。よって、
2（s+1）+（a+ルート3）・（a-ルート3）=0
↓
2s+2+a²-3=0より、

s=（-a²+1）/2となります。

以上から点Ｈの座標は、（（-a²+1）/2,a)です。

ベクトルＯＰとベクトルＯＨのなす角をθとしcosθ＝12/13を与えられたとき、ａの値を求める問題

三角形ＯＨＰの図をしっかりと書いてみましょう。
そして辺の長さをはかってみると、

ＯＨ＝ＨＰ＝（a²+1）/2

となることに気が付けば、あとは簡単ですね。
二等辺三角形を描いて、点Ｈから辺ＯＰに垂線を引いてください。

ＯＰ＝ルート（a²+1）ですから、

ＯＨ：1/2ＯＰ＝13：12となりますので、

これをａの式にすると、

12（a²+1）=13ルート（a²+1）

となります。両辺を２乗すると、

144（a²+1）²＝169（a²+1）

次数を低くするために、a²＝tとでもしましょう。すると、

144（t²+2t+1）=169（t+1）

と計算が楽になります。これを整理すると、

144t²+119t-25=0

因数分解して、

（144t-25）（t+1）=0

ｔ≧０より、t=25/144

ａの式に戻せば、

a=±5/12

となりますね。

・・・これで解説は以上です。

生徒に以上のような感じで授業を進めたところ、大学入試センター試験の数学の解説だけで２時間かかってしまいました。

次回は英語かな？それとも大学の２次試験の過去問なのだろうか？

いずれにしても、またブログに解き方を書く予定でいます(#^^#)
[ads_code_5]