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大学入試センター試験の解説(数学ⅡBその1)

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大学入試センター試験の解説(数学ⅡBその1)

大学入試センター試験の数学の続きです。

今回は、教えに行った生徒が戸惑った数学ⅡBの問題を中心に解説してみましょう。
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第1問(1)cosα、cosβの連立方程式を解く問題

cos2α+cos2β=17/15

cos2αcos2β=4/15

までしっかりと出来ていたのに、ここから解けなくなってしまいました。

それで、問題用紙に書いてあった式などを調べてみたら、

cos4β-17/15cos2β+4/15=0

としっかり正しい式を書いてありました。この点を聞いてみると、cosβの4次式として解こうと思っていたそうです(>_<) 4次式ではなく2次式として考えていたら出来ていたのに・・・と思うととても残念。 ここは、cos2βをxとでも置きかえれば、

x2-17/15x+4/15=0

15x2-17x+4=0

と、xの2次方程式を解けばいいのです。

因数分解して、(5x-4)(3x-1)=0

よって、x=4/5,1/3

cosα≧cosβですので、cos2α≧cos2βより、

cos2α=4/5,cos2β=1/3となります。

因数分解がうまくできなかったら、解の公式を使えば同様の答えが出ます。

ここができれば、コ~ソについては簡単ですね。

第1問の(2)は全問正解してましたので解説はなしです。

第2問・・・微分・積分(放物線とその接線)

(2)三角形OPRの面積Sの最大値を求める問題

ツとテ、どちらに2、3を入れればよいか迷ったようです。結局当たりましたが・・・。

ソとタにはそれぞれ0と1をいれており正解だったのに、なぜ迷ったのか不思議に感じます。

面積であるSは0より大きいので、aに2分の1とかを代入して、負の値をとらなければ正しいとわかるのですが・・・。

その次のト~以降は時間がかかるかと思い、とばして次の大問にうつったそうです。

ここまであたっていながらもったいないですね。

面積Sを微分すれば、

S’=-6a2+4a=-2a(3a-2)となります。

0≦a≦1では、3a-2=0、すなわちa=2/3のときだけ極値をとるのですから、トは2、ナは3が入ることがわかります。

最大値はa=2/3をSの式に代入すればOKです。

(3)囲まれた図形Tを求める問題

放物線C:y=x2+1
直線l:y=(4a-2)x-4a2+4a

これらをグラフ上に描いてみると分かりますが、xが0からaまでの範囲では放物線Cが直線lよりも上に位置しています。よって、放物線Cの式から直線lの式を引いて、0からaの範囲で積分すればいいですね。

放物線Cの式から直線lの式を引いた式:x2-(4a-2)x+4a2-4a+1

上を積分した式:1/3x3-(2a-1)x2+(4a2-4a+1)x

x=aを代入した式:1/3a3-(2a-1)a2+(4a2-4a+1)a=7/3a3-3a2+a

よって、ノに7、ハに3、ヒに3、フにaがはいります。

最後のトを求めるには、Tを微分して極値を求めます。

T’=7a2-6a=a(7a-6)

T’=0となるのは、a=0,6/7のときです。

2/3≦a<1なので、a=2/3,6/7,1をそれぞれTに代入して値を比較しましょう。

a=2/3のときT=2/81
a=6/7のときT=6/49
a=1のときT=1/3

よって、aの値が増加すると、Tの値も増加していますので、ヘには、「②増加する」が入ります。

・・・・記事が長くなりそうなので、続きはまた次回にしますね(*^_^*)
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