大学入試センター試験の解説（数学ⅡＢその１）

大学入試センター試験の数学の続きです。

今回は、教えに行った生徒が戸惑った数学ⅡＢの問題を中心に解説してみましょう。
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第１問（１）cosα、cosβの連立方程式を解く問題

cos²α+cos²β=17/15

cos²αcos²β=4/15

までしっかりと出来ていたのに、ここから解けなくなってしまいました。

それで、問題用紙に書いてあった式などを調べてみたら、

cos⁴β-17/15cos²β＋4/15＝0

としっかり正しい式を書いてありました。この点を聞いてみると、cosβの４次式として解こうと思っていたそうです(>_<) ４次式ではなく２次式として考えていたら出来ていたのに・・・と思うととても残念。 ここは、cos²βをｘとでも置きかえれば、

x²-17/15x+4/15=0
↓
15x²-17x+4=0

と、xの２次方程式を解けばいいのです。

因数分解して、(5x-4)(3x-1)=0

よって、x=4/5,1/3

cosα≧cosβですので、cos²α≧cos²βより、

cos²α=4/5,cos²β=1/3となります。

因数分解がうまくできなかったら、解の公式を使えば同様の答えが出ます。

ここができれば、コ～ソについては簡単ですね。

第１問の（２）は全問正解してましたので解説はなしです。

第２問・・・微分・積分（放物線とその接線）

（２）三角形ＯＰＲの面積Ｓの最大値を求める問題

ツとテ、どちらに２、３を入れればよいか迷ったようです。結局当たりましたが・・・。

ソとタにはそれぞれ0と1をいれており正解だったのに、なぜ迷ったのか不思議に感じます。

面積であるＳは0より大きいので、ａに２分の１とかを代入して、負の値をとらなければ正しいとわかるのですが・・・。

その次のト～以降は時間がかかるかと思い、とばして次の大問にうつったそうです。

ここまであたっていながらもったいないですね。

面積Ｓを微分すれば、

S’=-6a²+4a=-2a(3a-2)となります。

0≦a≦1では、3a-2=0、すなわちa=2/3のときだけ極値をとるのですから、トは2、ナは3が入ることがわかります。

最大値はa=2/3をSの式に代入すればＯＫです。

（３）囲まれた図形Ｔを求める問題

放物線Ｃ:y=x²+1
直線ｌ：y=(4a-2)x-4a²+4a

これらをグラフ上に描いてみると分かりますが、ｘが0からａまでの範囲では放物線Ｃが直線ｌよりも上に位置しています。よって、放物線Ｃの式から直線ｌの式を引いて、０からａの範囲で積分すればいいですね。

放物線Ｃの式から直線ｌの式を引いた式：x²-(4a-2)x+4a²-4a+1

上を積分した式：1/3x³-(2a-1)x²+(4a²-4a+1)x

x=aを代入した式：1/3a³-(2a-1)a²+(4a²-4a+1)a=7/3a³-3a²+a

よって、ノに7、ハに3、ヒに3、フにａがはいります。

最後のトを求めるには、Tを微分して極値を求めます。

T’=7a²-6a=a(7a-6)

T’=0となるのは、a=0,6/7のときです。

2/3≦a＜1なので、a=2/3,6/7,1をそれぞれTに代入して値を比較しましょう。

a=2/3のときT=2/81
a=6/7のときT=6/49
a=1のときT=1/3

よって、aの値が増加すると、Tの値も増加していますので、ヘには、「②増加する」が入ります。

・・・・記事が長くなりそうなので、続きはまた次回にしますね（*^_^*）
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