民報チャレンジ2018(数学13)図形の角度など

【1】小問

(1)

(a+b)²＝a²＋2ab＋b²
の展開の公式どおりに計算しましょう。

(2)

16＜23＜25なので、ルート23は4と5の間の値をとります。
整数部分は4になります。

（整数部分）＋（小数部分[a]）＝ルート23より、
（小数部分[a]）＝ルート23－4
と表わせますので、この値を式に代入して計算します。

(3)

0になるとき、15－n＝0　→　n＝15
1になるとき、15－n＝1　→　n＝14
2になるとき、15－n＝4　→　n＝11
3になるとき、15－n＝9　→　n＝6
4になるとき、15－n＝16 →　n＝－1…nは自然数なので不適。

以上からn＝6,11,14,15

【2】図形の角度

(1)①

x＋x＋98＝180より、
2x＝82
x＝41
∠x＝41°

(1)②

∠ABC＝∠ACB＝68°・・・①
三角形の内角と外角の関係から、
∠ACB＝∠CAD＋∠CDA・・・②
CA＝CDより、∠CAD＝∠CDA・・・③
①、②、③より、
∠CDA＝34°・・・④
∠x＋∠CDA＝180°
よって、
∠x＝180°－34°
＝146°

(2)

∠CAD＝∠CAB－∠BAE
＝60°－44°
＝16°

ADとBCの交点をFとすると、
△ACFと△BDFにおいて、
　　∠ACF＝∠BDF＝60°(仮定）
　　∠AFC＝∠BFD（対頂角）
2つの角がそれぞれ等しいので、
　　△ACF∽△BDF
対応する角が等しいので、
∠CAD（CAF）＝∠DBC（DBF）
＝16°

(3)二等辺三角形

②

点Dは∠B、∠Cの二等分線の交点なので、
∠ABD＝∠DBC＝∠BCD＝∠DCA＝x(度)とします。

△ABCにおいて、
∠BAC＝180°－(∠ABD＋∠DBC＋∠BCD＋∠DCA)
＝180°－4x・・・①

△DBCにおいて、
∠BDC＝180°－(∠DBC＋∠BCD)
＝180°－2x・・・②

∠BACと∠BDCの大きさの比が4：7なので、
(180°－4x)：(180°－2x)＝4：7

4(180°－2x)＝7(180°－4x）
720°－8x＝1260°－28x
20x＝540°
x＝27°・・・③

③を①に代入
∠BAC＝180°－108°
＝72°

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