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民報チャレンジ2018(数学13)図形の角度など

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【1】小問

(1)

(a+b)2=a2+2ab+b2
の展開の公式どおりに計算しましょう。

(2)

16<23<25なので、ルート23は4と5の間の値をとります。
整数部分は4になります。

(整数部分)+(小数部分[a])=ルート23より、
(小数部分[a])=ルート23-4
と表わせますので、この値を式に代入して計算します。

(3)

0になるとき、15-n=0 → n=15
1になるとき、15-n=1 → n=14
2になるとき、15-n=4 → n=11
3になるとき、15-n=9 → n=6
4になるとき、15-n=16 → n=-1…nは自然数なので不適。

以上からn=6,11,14,15

【2】図形の角度

(1)①

x+x+98=180より、
2x=82
x=41
∠x=41°

(1)②

∠ABC=∠ACB=68°・・・①
三角形の内角と外角の関係から、
∠ACB=∠CAD+∠CDA・・・②
CA=CDより、∠CAD=∠CDA・・・③
①、②、③より、
∠CDA=34°・・・④
∠x+∠CDA=180°
よって、
∠x=180°-34°
146°

(2)

∠CAD=∠CAB-∠BAE
=60°-44°
16°

ADとBCの交点をFとすると、
△ACFと△BDFにおいて、
  ∠ACF=∠BDF=60°(仮定)
  ∠AFC=∠BFD(対頂角)
2つの角がそれぞれ等しいので、
  △ACF∽△BDF
対応する角が等しいので、
∠CAD(CAF)=∠DBC(DBF)
16°

(3)二等辺三角形

点Dは∠B、∠Cの二等分線の交点なので、
∠ABD=∠DBC=∠BCD=∠DCA=x(度)とします。

△ABCにおいて、
∠BAC=180°-(∠ABD+∠DBC+∠BCD+∠DCA)
180°-4x・・・①

△DBCにおいて、
∠BDC=180°-(∠DBC+∠BCD)
180°-2x・・・②

∠BACと∠BDCの大きさの比が4:7なので、
(180°-4x):(180°-2x)=4:7

4(180°-2x)=7(180°-4x)
720°-8x=1260°-28x
20x=540°
x=27°・・・③

③を①に代入
∠BAC=180°-108°
72°

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