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福島民報力だめし(2016数学39) ~1次関数の文章題~

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福島民報力だめし(2016数学39) ~1次関数の文章題~

数学の39回目は図形の証明、1次関数の文章題ですね。
【1】は特に解説するところはありません。【2】は解答に証明の例が載っているので説明は不要でしょうね。
ですので、【3】の1次関数の文章題から解説します。

【3】ダイヤグラムの問題

運行のようすがグラフになっています。縦軸をy(km)、横軸をx(分)としてみます。ただし、8:00のところを0として、9:00のところを60とみましょう。ここがポイントです。
(1)問題文から10分で6km進むので、60分だと6の6倍で36km進みますので、毎時36kmとなります。
(2)8:00A駅発の列車は、点(0,0)と点(10,6)を通ります。原点を通るので比例の式y=axにx=10、y=6を代入すると、この直線の式は、
y=0.6x・・・①
次に8:05B駅発の列車は、グラフより、点(5,6)と点(15,0)を通ります。A駅発の列車と速度は同じですので、傾きは-0.6となります。
y=-0.6x+bにx=15、y=0を代入するとb=9となりますので、この直線の式は、
y=-0.6x+9・・・②
①と②の連立方程式を解きます。
①-②より、
0=1.2x-9

1.2x=9

12x=90

x=7.5・・・③
③を①に代入して、
y=0.6×7.5=4.5
よってA駅から4.5kmのところとなります。
(3)8:05分にA駅から出発しますので、点(5,0)を通ります。
また、毎分120mでB駅まで進むので、6km(6000m)離れたB駅に着くのは、
6000÷120=50(分後)
の8:55分です。よって、点(55,6)を通ります。
この2点を直線で結んで、他の直線と交わる箇所を数えてみます。
①A駅を8:20と8:30に出発した列車に抜かれますので2回です。
②B駅を8:05、8:15、8:35、8:45に出発した列車に出会いますので4回です。

【4】水を入れる量と水そうの深さとの関係を求める問題

(1)下の容器は、60×60×30=54000立法センチメートルですので、54リットル水が入ります。毎分9リットルの割合で水を入れるので、54÷9=6分後には下の水そうは満杯になります。
よって、xの変域は0≦x≦6ですね。
次にyをxの式で表します。
xが0(分)のとき深さであるyも0(センチ)ですので、比例の式y=axです。また、xが6(分)のとき、yは60(センチ)の深さになるので、x=6、y=60をy=axに代入するとa=10となります。
よって、直線の式はy=10xです。
(2)上の容器の体積は、20×20×60=24000立方センチメートルですので、24リットル水が入ります。毎分9リットルの割合で水を入れると、24÷9=8/3(3分の8)分後に満杯になります。
(1)のようにxの変域を表すと、0≦x≦8/3となるのですが、上の容器に水が入るのは6分後からですので、変域のそれぞれの値に6を足します。
8/3+6=26/3(3分の26)ですので、xの変域は、6≦x≦26/3となりますので気を付けましょう。
また、これもyをxの式で表すのですが、下の容器のことも考えなくてはいけません。
x=6のときy=60、x=26/3のときy=120となります。これを1次関数の式y=ax+bに代入して、a,bを求めます。
すなわち、次の連立方程式を解きます。
60=6a+b・・・①
120=26/3a+b・・・②
②-①より、
60=8/3a

8a=180

a=45/2(22.5)・・・③
③を①に代入、
60=135+b

b=-75
よって、y=45/2x-75(y=22.5x-75)となります。
(3)水の深さが90センチなので、y=90を(2)で求めた式に代入してxを求めます。
90=45/2x-75

165=45/2x

45x=330

x=330/45

x=22/3となりますので、22/3(3分の22)分後が答えになります。

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