民報チャレンジ(数学46)回転体の体積・表面積

民報チャレンジ数学46の解説です。直角三角形を使った図形の問題ですね。(1)①は作図なので省略して②から解説します。

図形の問題なので、文字では伝わりにくいところがあります。画像も作成してみましたので、参考にしてください。

(1)②円すいの体積を求める

まず三平方の定理を使って、辺ABの長さを出します。

AB²＝AC²－BC²
＝9－4
＝5

AB＞0より、ABはルート5cm・・・①です。

次に、円すいの底面積は、半径2cmの円ですので、
2×2×π＝4π(cm²)・・・②

最後に公式を使用して体積を求めます。（底面積）×（高さ）×1/3ですので、

②×①×1/3より、答えは3分の4ルート5π(cm³）となります。

(2)①立体の体積を求める

この四角形を辺BCで2つの三角形に分け、辺ACと辺BDを合わせると、長方形ABCDとなります。

求める体積は、この長方形ABCDを1回転させた体積と等しくなりますので、底面積が半径2cmの円、高さがルート5cmの円柱になります。よって、
2×2×π×(ルート5)で4ルート5π(cm³）となります。

(2)②立体の表面積を求める

表面積の場合は、円柱の場合の表面積とは異なりますので、個別に考えましょう。

以下のように分けます。
ア）辺ACを1回転させてできるおうぎ形の面積
イ）辺CDを1回転させてできる円柱の側面積
ウ）辺BDを1回転させてできるおうぎ形の面積

ア）とウ）は同じ面積になります。

ア）の場合

辺ACである母線(r)が3cm、底面の半径2cmの円の円周(l’)は4πcmなので、おうぎ形の面積は、中心角を求めない式S＝1/2l’rを使用して、
S＝1/2×4π×3
＝6π(cm²）・・・①

イ）の場合

半径2cmの円の円周4πと、辺CDの長さルート5をかけて4ルート5π(cm²)・・・②

ウ）の場合

ア）と同じなので、6π(cm²)・・・③

求める表面積は①＋②＋③より、（12プラス4ルート5）πcm²となります。

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