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民報チャレンジ(数学44)関数のグラフ

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民報チャレンジ数学44の解説です。関数のグラフからの出題ですね。

(1)

問題文に「x軸に対称である」と書かれているので、a=-1/2とわかります。

別の解きかたとしては、

点A、点Cはともにx軸からの距離が等しいということから、まず点Aの座標(4,8)を求めて、次に点Cの座標(4,-8)をだし、点Cの値を関数の式に代入して、aの値を求めてもいいです。

ちょっと時間がかかりますけど(^_^;)

(2)

点Bと点Aのy座標が等しいので、まず点Aのy座標を求めます。

点Aのx座標は4なので、これを関数y=1/2x2に代入して、y=8

また、y=1/2x2のグラフはy軸について対称なので、点Bのx座標は-4になります。

よって、点Bの座標は(-4,8)となります。

(3)

問題文より、点Cのx座標は点Aのx座標と等しいので、x=4。

これを(1)で求めた関数、y=-1/2x2に代入して、y=-8

よって点Cの座標は(4,-8)

求める直線の式を、y=ax+bとすると、
点Bを通るので、8=-4a+b・・・①
点Cを通るので、-8=4a+b・・・②

①+②より、b=0
①-②より、16=-8a → a=-2

よって求める直線は、y=-2x

(4)

まず四角形BFCAの面積を求めます。
長方形ですので、BA=8、AC=16より、面積は、8×16=128・・・①

次に四角形BECDの面積を求めます。四角形がひし形というのがポイントですね。対角線の長さがわかれば、面積を出すことができます。小学生の時に習いましたね。

対角線BC、DEを引いて、長さを計算します。

点B(-4,8)、点C(4,-8)の長さは、三平方の定理より、
BC2=82+162=320
BC=ルート320=8ルート5・・・②

点D(1,1/2)、点E(-1,-1/2)の長さも同様に、三平方の定理を使って、

DE2=22+12=5
DE=ルート5・・・③

ひし形の面積は、対角線の積の半分ですので、
②×③×1/2より、20になります。

よって、面積の比は、

(四角形BECD):(四角形BFCA)=20:128=5:32

となります。

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