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民報チャレンジ(数学42)平面図形と空間図形

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民報チャレンジ数学42の解説です。

平面図形と空間図形一問ずつの出題です。

【1】角度の大きさ

円周角の性質を利用した問題です。

AC間に補助線を一本引いて、AD=CDの二等辺三角形をつくるのがポイントです。

円周角の性質から、∠ADC=∠ABC=64°・・・①

また、ABは円Oの直径なので、∠ACB=90°・・・②

①、②より、∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACD)=26°・・・③

次に、三角形ACDは、AD=CDであることから、底角が等しいので、

その大きさは、(180°-∠ADC)÷2=58°・・・④

③、④より、∠BAD=58°-∠BAC=32°となります。

【2】立方体

(1)対角線の問題

習ったばかりの問題ですね。直方体の対角線の長さを求める手順と同じです。

対角線の2乗は、縦の2乗、横の2乗、高さの2乗を合わせた長さに等しいので、

線分AGの場合を例にとってみると、

AG2=AE2+EF2+FG2
=16+16+16
=48

よって、AGは4ルート3センチとなります。

同じような対角線は、AGのほかに、BH、CE、DFがあります。

(2)三角形の面積

三角形の辺の長さが大きいほど、面積が大きくなるので、大きそうな候補を上げてみましょう。

①・・・(1)の対角線を使った、△AEG
(AE=4、EG=4ルート2、AG=4ルート3)

②・・・正三角形ACF
(AC=AF=FC=4ルート2)

面積をそれぞれ求めてみると、

①は、AE⊥EGなので、
EG×AE÷2=8ルート2

②は点Fから辺ACに垂線を引いて、その垂線の長さを求めます。

その垂線は辺ACを二等分するので、垂線とACとの交点をIとすると、
三平方の定理から、
FI2=AF2-AI2
=32-8
=24

FIの長さは、ルート24なので、2ルート6になります。

②の面積は、AC×FI÷2=4ルート2×2ルート6÷2=8ルート3

①と②とを比較してみると、ルート2よりもルート3が大きい値なので、答えは8ルート3になります。

(3)三角すいの体積

〔ア〕の三角形の頂点を3つ選ぶのは、(2)であげたA、C、Fにします。

〔イ〕は点B、点Hとありますが、図をみてわかりやすい点Bにします。

この場合の三角すいの体積は、底面を△ACFではない別の三角形にするのがポイントです。

底面を△ABCとした場合、高さはBFとなりますので、体積は簡単に求められます。

すなわち、AB×AC÷2×BF÷3=64/3(3分の64)cm3が体積となるのです。

今回の問題に限りませんが、駿英の勉強術ブログでも、入試対策として空間図形の解き方をとても詳しく説明しています。ぜひご覧ください。

駿英式「勉強術」!
→空間図形を平面図形に変換せよ~対策その1
→実践公式を駆使せよ~対策その2

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