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福島民報力だめし(2016数学10) ~1次関数~

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福島民報力だめし(2016数学10) ~1次関数~

数学の10回目は1次関数ですね。
1次関数y=ax+bは、傾きa(変化の割合、yの増加量/xの増加量)、切片bの直線であることから考えます。

【1】y=2x+5

(1)変化の割合はaにあたる数なので2
(2)xの増加量9に変化の割合(この場合は2)をかけて18

【2】y=-x+3

(1)x=-4を代入して、y=-(-4)+3=7
(2)y切片が3より、点(0,3)をとおります。傾きが-1なので、点(0,3)より右に1マス進んだら、下に1マス進み、点を打つ。これを数回繰り返します。打った点を結べば解答のような直線が引けます。
(3)変域の両端の値を式に代入して求めましょう。
①x=-2を代入すると、y=2+3=5、x=1を代入すると、y=-1+3=2、よって2≦y<5
②x=-3を代入すると、y=3+3=6、x=4を代入すると、y=-4+3=-1、よって-1<y≦6
(4)グラフから求めてもよい。y=1のときx=2をとおるので、yが1より大きいということは、xは2よりも小さい範囲にあることがわかるはずです。

【3】1次関数の式を求める。

(1)a=-6なので、y=-6x+b。この式にx=1,y=3を代入して、3=-6+bよりb=9。よってy=-6x+9。
(2)a,bの連立方程式を2つつくります。
点(-3,7)の場合-3a+b=7・・・①
点(6,4)の場合6a+b=4・・・②
①-②   -9a=3よりa=-1/3・・・③
③を①に代入1+b=7よりb=6
よってy=-1/3x+6
(3)変化の割合が-3/2で点(6,7)を通る直線と同じように考えます。
y=-3/2x+bにx=6,y=7を代入。7=-9+bより、b=16。よってy=-3/2x+16。
(4)変化の割合は12÷4=3。y=3x+bにx=2,y=-3を代入します。-3=6+bよりb=-9。よってy=3x-9。

【4】図から直線の式を求める

(1)y軸との交点が(0,-4)より、切片が-4、xが1増加するとyが2減少するので、傾きは-2。よってy=-2x-4。
(2)y軸との交点が(0,4)より、切片が4、xが3増加すると、yが4減少するので、傾きは-4/3。よってy=-4/3x+4。
(3)y軸との交点が(0,3)より、切片が3、xが1増加すると、yが1増加するので、傾きは1。よってy=x+3。
(4)y軸との交点が(0,-2)より、切片が-2、xが4増加すると、yが1増加するので、傾きは1/4。よって、y=1/4x-2。

【5】1次関数と図形の問題

(1)直線lとmの式を連立方程式で解く。
y=2x+4・・・①
y=-x+7・・・②
①-② 3x-3=0, 3x=3, x=1・・・③
③を①に代入、y=2+4=6
よって点A(1,6)
(2)点Bのy座標は0なので、lの式にy=0を代入、x=-2となります。
同様に点Cのy座標も0なので、mの式にy=0を代入、x=7となります。
底辺BCの長さは7-(-2)=9です。
次に高さは点Aのy座標と同値なので、6です。
三角形ABCの面積は、9×6÷2=27となります。
(3)辺BCの中点と点Aを通る直線の式を求めます。
BCの中点は9÷2=9/2(4.5)なので、中点のx座標は7-9/2(4.5)=5/2(2.5)です。
求める式をy=ax+bとすると、
点A(1,6)を通るので6=a+b・・・①
中点(2.5,0)を通るので、0=2.5a+b・・・②
①-② 6=-1.5a, a=-4・・・③
③を①に代入、6=-4+b, b=10
よって、y=-4x+10

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