民報チャレンジ(数学41)空間図形～円すい

民報チャレンジ数学41の解説です。
空間図形、円すいの問題ですね。

(1)円周の長さ

l＝2πrを使って解きます。半径の長さは12cmの半分の6cmなので、
2π×6＝12π(cm)

(2)円すいの体積

三角形OACに三平方の定理を用いて、OCを求めます。
OC²＝OA²－AC²
＝100－36
＝64
OC＞0なので、OC＝8

よって、求める体積は
1/3×π×6²×8
＝96π(cm³)

(3)

PQ＝xとすると、PQ＝QC、OQ＋QC＝8より、
OQ＝8－QC
＝8－x

また、△OPQ∽△OCA（∵2つの角がそれぞれ等しい)より、
OQ：QP＝OA：AC＝5：3
(8-x）：x＝5：3
5x＝24－3x
8x＝24
x＝3
よってPQの長さは3cm

(4)

△OPQ∽△OCAであり、
PQ：CA＝3：6＝1：2なので、
面積比は△OPQ：△OAC＝1²：2²＝1：4

(5)

△OPQ∽△OCAより、OP：OC＝1：2なので、
OP＝1/2OC＝4

点Oを含むほうの円すいの底面の中心をDとすると、
△ODP∽△OAC
相似比はOP：OA＝4：10＝2：5

PD：AC＝2：5より、
PD＝2/5×6＝12/5

円すいの底面の円周はS＝1/2lrを使います。
l＝2π×12/5＝24/5π
r＝OP＝4

よって求める円すいの側面積は
1/2×24/5π×4＝48/5π(cm²)

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