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民報チャレンジ(数学41)空間図形~円すい

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民報チャレンジ数学41の解説です。
空間図形、円すいの問題ですね。

(1)円周の長さ

l=2πrを使って解きます。半径の長さは12cmの半分の6cmなので、
2π×6=12π(cm)

(2)円すいの体積

三角形OACに三平方の定理を用いて、OCを求めます。
OC2=OA2-AC2
=100-36
=64
OC>0なので、OC=8

よって、求める体積は
1/3×π×62×8
96π(cm3)

(3)

PQ=xとすると、PQ=QC、OQ+QC=8より、
OQ=8-QC
=8-x

また、△OPQ∽△OCA(∵2つの角がそれぞれ等しい)より、
OQ:QP=OA:AC=5:3
(8-x):x=5:3
5x=24-3x
8x=24
x=3
よってPQの長さは3cm

(4)

△OPQ∽△OCAであり、
PQ:CA=3:6=1:2なので、
面積比は△OPQ:△OAC=12:221:4

(5)

△OPQ∽△OCAより、OP:OC=1:2なので、
OP=1/2OC=4

点Oを含むほうの円すいの底面の中心をDとすると、
△ODP∽△OAC
相似比はOP:OA=4:10=2:5

PD:AC=2:5より、
PD=2/5×6=12/5

円すいの底面の円周はS=1/2lrを使います。
l=2π×12/5=24/5π
r=OP=4

よって求める円すいの側面積は
1/2×24/5π×4=48/5π(cm2)

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