民報チャレンジ(数学30)一次関数の利用など

民報チャレンジ数学の30回目の解説です。【1】の(1)~(3)の解説は省略し、【1】の(4)からはじめます。

【1】

(4)おうぎ形の角度

xを使って、弧の長さを求める式を作ります。

2π×4×x/360=6/5π

両辺に360をかけて、
8πx=432π

両辺を8πで割って、
x=54(度)

(5)

n/15が整数でなければならないので、nは15の倍数です。

またルート3nが整数になるには、
n=3×1×1
n=3×2×2
n=3×3×3


というように、3が1回、別の整数が2回必要になります

15の倍数で、最も小さい自然数を求めますので、
n=3×5×5=75
です。

(6)立体の表面積

立方体は三角錐と残りの部分に分けられます。

三角錐の部分の表面積は、△ABD×3+△BDE・・・①
残りの部分の表面積は、△ABD×3+□BFCG×3+△BDE・・・②

②-①より、
□BFCG×3=(3×3)×3=27(cm3

具体的な表面積の値を出さないのがポイントですね。

【2】一次関数の利用

(1)

点Pが6秒間に進んだ距離は、a×6=6a(cm)
点Qが6秒間に進んだ距離は、1×6=6(cm)

6秒後に2つの点が進んだ距離の合計は、一辺の長さが6cmの正方形ABCDの周の長さなので、
6a+6=24
これを解いて、a=3

(2)動点の問題

0<a<1より、点Pは辺AD上に、点Qは辺AB上にある。

AP=a×4=4a(cm)
AQ=1×4=4(cm)

三平方の定理より、
AP2+AQ2=PQ2
16a2+16=52
a2=9/16
a=±3/4

0<a<1なので、a=3/4(4分の3)

(3)①

下の②の表に式が書いてあるので、それに代入して、y=3×5=15としてもいいのですが、それでは解説している意味がないので、説明を加えてみます。

x=5のとき、点Pは辺DC上、点Qは辺AB上にあります。

よって、△APQの面積は、底辺をAQとすると高さは辺AD(BC)となります。
AQ=5なので、求める面積(y)は、
y=1/2×5×6=15
です。

(3)②

ア:変域の境目を問う問題です。先ほどの①でわかると思いますが、点Pがどの辺上にあるかで変域を分けていますので、アは点Pが点Cに位置するときなのでx=6になります。

イ:点Pが辺AD上を移動するときの式を求めます。
y=1/2×AP×AQ
この式に、
AP=1×x=x
AQ=2×x=2x
を代入し、
y=x2

ウ:点P、Qが辺BC上を移動するときの式を求めます。
y=1/2×PQ×6=3PQ・・・①
BP+PQ+QC=BC→PQ=6-BP-QC・・・②

この②の式に、
BP=AP-AB=x-6
QC=AQ-(AD+DC)=2x-12
を代入し、
PQ=6-(x-6)-(2x-12)=-3x+24・・・③

③を①に代入し、
y=3(-3x+24)=-9x+72


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