民報チャレンジ(数学30)一次関数の利用など

民報チャレンジ数学の30回目の解説です。【1】の(1)～(3)の解説は省略し、【1】の(4)からはじめます。

【1】

(4)おうぎ形の角度

xを使って、弧の長さを求める式を作ります。

2π×4×x/360＝6/5π

両辺に360をかけて、
8πx＝432π

両辺を8πで割って、
x＝54(度)

(5)

n/15が整数でなければならないので、nは15の倍数です。

またﾙｰﾄ3nが整数になるには、
n＝3×1×1
n＝3×2×2
n＝3×3×3
・
・
というように、3が1回、別の整数が2回必要になります。

15の倍数で、最も小さい自然数を求めますので、
n＝3×5×5＝75
です。

(6)立体の表面積

立方体は三角錐と残りの部分に分けられます。

三角錐の部分の表面積は、△ABD×3＋△BDE・・・①
残りの部分の表面積は、△ABD×3＋□BFCG×3＋△BDE・・・②

②－①より、
□BFCG×3＝（3×3）×3＝27(cm³）

※具体的な表面積の値を出さないのがポイントですね。

【2】一次関数の利用

(1)

点Pが6秒間に進んだ距離は、a×6＝6a(cm)
点Qが6秒間に進んだ距離は、1×6＝6(cm)

6秒後に2つの点が進んだ距離の合計は、一辺の長さが6cmの正方形ABCDの周の長さなので、
6a＋6＝24
これを解いて、a＝3

(2)動点の問題

0＜a＜1より、点Pは辺AD上に、点Qは辺AB上にある。

AP＝a×4＝4a(cm)
AQ＝1×4＝4(cm)

三平方の定理より、
AP²＋AQ²＝PQ²
16a²＋16＝5²
a²＝9/16
a＝±3/4

0＜a＜1なので、a＝3/4(4分の3)

(3)①

下の②の表に式が書いてあるので、それに代入して、y＝3×5＝15としてもいいのですが、それでは解説している意味がないので、説明を加えてみます。

x＝5のとき、点Pは辺DC上、点Qは辺AB上にあります。

よって、△APQの面積は、底辺をAQとすると高さは辺AD（BC)となります。
AQ＝5なので、求める面積(y)は、
y=1/2×5×6＝15
です。

(3)②

ア：変域の境目を問う問題です。先ほどの①でわかると思いますが、点Pがどの辺上にあるかで変域を分けていますので、アは点Pが点Cに位置するときなのでx＝6になります。

イ：点Pが辺AD上を移動するときの式を求めます。
y＝1/2×AP×AQ
この式に、
AP＝1×x＝x
AQ＝2×x＝2x
を代入し、
y＝x²

ウ：点P、Qが辺BC上を移動するときの式を求めます。
y=1/2×PQ×6＝3PQ・・・①
BP＋PQ＋QC＝BC→PQ＝6－BP－QC・・・②

この②の式に、
BP＝AP－AB＝x－6
QC＝AQ－（AD＋DC）＝2x－12
を代入し、
PQ＝6－(x－6)－(2x-12)＝－3x＋24・・・③

③を①に代入し、
y＝3（－3x＋24)＝－9x＋72

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