民報チャレンジ数学の27回目の解説です。
【1】
(1)2次方程式
まず、すべて左に移項します。
x2-x-2=0
次に因数分解します。
(x-2)(x+1)=0
x=2,-1
(2)比例と反比例
ア:y=11-xなので一次関数
イ:y=12/xなので反比例
ウ:y=x2なので2乗に比例する関数
エ:y=3xなので比例
以上から、反比例の式はイになります。
(3)確率
(硬貨、さいころの目の数)とし、得点を出してみます。
(表,1)=2点
(表,2)=4点
(表,3)=6点
(表,4)=8点
(表,5)=10点
(表,6)=12点
(裏,1)=2点
(裏,2)=3点
(裏,3)=4点
(裏,4)=5点
(裏,5)=6点
(裏,6)=7点
よって、12とおりのうち、得点が5点以上になるのは7とおり。確率は12分の7になります。
(4)連立方程式の利用
模範解答が掲載されていますので、省略します。
【2】一次関数の利用
(1)
点Pの動きは、途中から速さが変わることと、点Qの動きは、点Bで折り返し戻ってくることに気をつけましょう。
x=1のとき、底辺が2、高さが1の三角形なので、面積は2×1×1/2=1
x=3のとき、底辺が2、高さが2の三角形なので、面積は2×2×1/2=2
(2)yをxの式で表す
①点PはAからBに進み、点QはAからDに進みます。
底辺はAP=2x、高さはAQ=xの三角形ですので、
面積は、y=2x×x×1/2=x2
②点PはBからAに進み、点QはDからCに進みます。
底辺はAP=8-2x、高さは2の三角形ですので、
面積y=(8-2x)×2×1/2=8-2x
APの求め方ですが、x=2のときAP=4、x=4のときAP=0ですので、(x,AP)とでもして、2点を通る直線の式を作ってみると楽に求められます。
この場合、点(2,4)、点(4,0)を通る直線の式を作ることになります。
(3)
二等辺三角形の性質、頂角(この場合は点Q)の二等分線は底辺(この場合は辺AP)を二等分する、を使ってみましょう。
四角形ABCDが長方形、三角形APQが二等辺三角形だと、DQ=1/2APが成り立つことが分かります。(問題の図に実際に書き込んでみるとわかります。)
x=2のときDQ=0、x=4のときDQ=4なので、DQをxの式で表すと、
DQ=2x-4・・・(ア)
求め方は(2)②で書いたときと同じく、点(2,0)と点(4,4)の2点をとおる、直線の式の求め方になります。
APの長さは(2)②より(8-2x)ですので、その半分は(4-x)・・・(イ)となります。
(ア)=(イ)ですので、
2x-4=4-x
3x=8
x=8/3(3分の8)
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