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民報チャレンジ(数学27)確率、一次関数ほか

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民報チャレンジ数学の27回目の解説です。

【1】

(1)2次方程式

まず、すべて左に移項します。
x2-x-2=0

次に因数分解します。
(x-2)(x+1)=0
x=2,-1

(2)比例と反比例

ア:y=11-xなので一次関数
イ:y=12/xなので反比例
ウ:y=x2なので2乗に比例する関数
エ:y=3xなので比例

以上から、反比例の式はになります。

(3)確率

(硬貨、さいころの目の数)とし、得点を出してみます。
(表,1)=2点
(表,2)=4点
(表,3)=6
(表,4)=8
(表,5)=10
(表,6)=12
(裏,1)=2点
(裏,2)=3点
(裏,3)=4点
(裏,4)=5
(裏,5)=6
(裏,6)=7

よって、12とおりのうち、得点が5点以上になるのは7とおり。確率は12分の7になります。

(4)連立方程式の利用

模範解答が掲載されていますので、省略します。

【2】一次関数の利用

(1)

点Pの動きは、途中から速さが変わることと、点Qの動きは、点Bで折り返し戻ってくることに気をつけましょう。

x=1のとき、底辺が2、高さが1の三角形なので、面積は2×1×1/2=1
x=3のとき、底辺が2、高さが2の三角形なので、面積は2×2×1/2=2

(2)yをxの式で表す

①点PはAからBに進み、点QはAからDに進みます。
底辺はAP=2x、高さはAQ=xの三角形ですので、
面積は、y=2x×x×1/2=x2

②点PはBからAに進み、点QはDからCに進みます。
底辺はAP=8-2x、高さは2の三角形ですので、
面積y=(8-2x)×2×1/2=8-2x

APの求め方ですが、x=2のときAP=4、x=4のときAP=0ですので、(x,AP)とでもして、2点を通る直線の式を作ってみると楽に求められます。

この場合、点(2,4)、点(4,0)を通る直線の式を作ることになります。

(3)

二等辺三角形の性質、頂角(この場合は点Q)の二等分線は底辺(この場合は辺AP)を二等分する、を使ってみましょう。

四角形ABCDが長方形、三角形APQが二等辺三角形だと、DQ=1/2APが成り立つことが分かります。(問題の図に実際に書き込んでみるとわかります。)

x=2のときDQ=0、x=4のときDQ=4なので、DQをxの式で表すと、
DQ=2x-4・・・(ア)

求め方は(2)②で書いたときと同じく、点(2,0)と点(4,4)の2点をとおる、直線の式の求め方になります。

APの長さは(2)②より(8-2x)ですので、その半分は(4-x)・・・(イ)となります。
(ア)=(イ)ですので、

2x-4=4-x
3x=8
x=8/3(3分の8)

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