民報チャレンジ(数学25)2乗に比例する関数など

数学25についての解説です。【1】の(1)、(3)は計算問題なので、省略します。

【1】

(2)

2はルート4、3はルート9なので、
4<n<9
よって自然数nは5,6,7,8です。

(4)方程式の利用

問題文よりxの式をつくると、
x×0.2=140

これを解いて、
x=140÷0.2=700

(5)2次方程式

それぞれの式にx=1を代入してみましょう。

・ア
(左辺)=1/2×1×1-3=-5/2
(右辺)=-5/2×1=-5/2
(左辺)=(右辺)なので、○

・イ
(左辺)=1×1-2×1=-1
(右辺)=1
同じ値にならないので×

・ウ
(左辺)=(-1)×(-1)=1
(右辺)=1
(左辺)=(右辺)なので、○

・エ
(左辺)=(1+1)×(1-1)=0
(右辺)=2
同じ値にならないので×

よって、アとウを選びます。

(6)資料の整理

・ア
回数の範囲は8-2=6(回)なので、5回ではない。×

・イ
2回はいった生徒は、4人
3回はいった生徒は、4人
4回はいった生徒は、5人
6回はいった生徒は、1人
8回はいった生徒は、1人
よって最頻値は、4回なので3回ではない。×

・ウ
記録を小さいほうから並べてみると、
222233335555568
真ん中にあるのは3なので、中央値は3。○

・エ
記録の合計は
2×4+3×4+4×5+6+8=54
これを生徒の人数で割る。
54÷15=3.6
平均値は3.6回なので、5回ではない。×

よって、正しいのは

(7)円すいの体積

体積を求める公式より、
3×3×π×5×1/3=15π


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【2】関数y=ax2

(1)

点Aは関数y=ax2上にあるので、x=-2,y=2を代入してaを求めます。
2=a×(-2)×(-2)
4a=2,a=1/2

点Bは関数y=1/2x2上にあるので、x=6,y=bを代入して、bを求めます。
b=1/2×6×6=18

よって、
a=1/2,b=18

(2)

点Aと点Bにおいて、
xの増加量は、6-(-2)=8
yの増加量は、18-2=16

よって求める傾きは16÷8=2

(3)

まず直線ABの式を求めます。直線の式をy=ax+bとすると、
(2)より、a=2で点A(-2,2)をとおるので、
2=2×(-2)+b
2=-4+b
b=6
よってy=2x+6

直線ABをy軸との交点を点Cとすると、点Cの座標は直線ABの切片が6なので、(0,6)

三角形OABの面積は、
6×6×1/2=18
三角形OACの面積は、
6×2×1/2=6

2つの三角形の面積を合わせて18+6=24

(4)

面積が等しくなるのは、直線ABと、直線OPの傾きが等しいときなので、
直線OPの傾きが2になればよいですね。直線OPの式は原点を通る傾き2の式なので、y=2x。
点Pの座標を(p、2p)とおくと、点Pはy=1/2x2上にあるので、
2p=1/2p2

整理して、
p2-4p=0

因数分解して、
p(p-4)=0
p=0,4

p>0なので、p=4
よって点Pの座標は(4,8)


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