みんゆう勉強室(2017.08.29)数学 一次関数、図形

8月29日掲載分のみんゆう勉強室、数学の解説です。問1から問4までの計算問題は省略して、問5から解説します。

問5 一次関数とグラフ

問題文を読んで、グラフに直線を書き込んでみましょう。

まず、図の直線は一郎さんが図書館に向かっていて、忘れ物に気づくまでのグラフが書かれています。

そのグラフに続けて、毎分90分の速さで家に戻るグラフを記入しましょう。家から900mの距離にいるので、家までは10分かかります。すると、家に着くのは12時25分なので、点(25,0)をとおることになります。その後、太郎さんは12時45分に図書館についたので、その時の座標は点(45,2000)となります。

今度は、花子さんについて考えます。

最初の花子さんの座標は点(0,2000)です。2000mの距離を毎分50mの速さで家まで帰ったので、12時40分に家に到着します。その時の座標は、点(40,0)となります。

そうすると、一郎さん、花子さんのグラフはこのようになります。

交わるところの値が12時30分だと予想できますが、念のため確認します。

・一郎さんの直線の式
y=ax+bとおくと、点(25,0)をとおるので、
0=25a+b・・・①
点(45,2000)をとおるので、
2000=45a+b・・・②
②-①
2000=20a
a=100・・・③
③を①に代入、
0=2500+b
b=-2500

y=100x-2500・・・④

・花子さんの直線の式
y=ax+bとおくと、点(0,2000)をとおるので、b=2000・・・⑤
点(40,0)をとおるので、
0=40a+b・・・⑥
⑤を⑥に代入して、
0=40a+2000
40a=-2000,a=-50

y=-50x+2000・・・⑦

④と⑦を連立させて解くと、④-⑦より、
0=150x-4500
150x=4500
x=30

よって12時30分に出会います。

問6 図形

(1)おうぎ形の中心角

おうぎ形の弧の長さは、中心角に比例するということがポイントになります。

問題では、底面の円の半径がBC=2とわかるので、半径2の円周がおうぎ形の弧の長さになります。円周は2×2=4πで、12πの3分の1ですので、中心角も360度の3分の1です。よって、中心角は120度です。

(2)立体の表面積

まず、ACを軸として1回転させた立体の表面積を求めます。
おうぎ形の面積は、6×6×π×1/3=12π・・・①
底面積は、2×2×π=4π・・・②

次にAEを軸として1回転させた立体の表面積を求めます。
DEの長さは、BCの長さの半分なので、AD=DB=3
おうぎ形の面積は、3×3×π×1/3=3π・・・③
底面積は、1×1×π=π・・・④

もとめる立体の表面積は、
①-③+②+④より、
12π-3π+4π+π=14π


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