民報チャレンジ(数学13) 1次関数の利用、他

民報チャレンジ数学の13回目の解説です。
【1】の(3)は解答には「115°」とありますが、「130°」になります。

【1】

(1)式の値、(2)平方根は、計算問題のため省略します。

(3)図形の角度

まずは、相似の証明から。
[証明]

三角形BFDと三角形BCEにおいて、
∠FBD=∠CBE(共通)・・・①

∠FDB=180°-∠ADC
∠CEB=180°-∠AEB

∠ADC=∠AEBより、
∠FDB=∠CEB・・・②

①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△BFD∽△BCE

対応する角は等しいので、
∠BFD=∠BCE=50°

∠AFB=180°-∠BFD
=180°-50°
=130°

解答では、115°となっていますが、130°です。

【2】資料の整理

解答例が載っていますので、省略します。

(運動日数)×(度数)の合計を人数の合計で割って、平均の値を比較すればいいですね。

【3】1次関数の利用

(1)

分速140mで3分間走ったので、
140×3=420(m)

(2)

このxの変域は、Aさんは分速200mで7分間走ったときの場合です。この時の式を、
y=ax+b
とおくと、分速200mの200がaにあたります。

y=200x+b・・・①

次に、x=15のとき、すなわち出発してから15分後には、AさんはQ地点にいましたので、家からQ地点までの距離を求めます。

家からP地点までは、
140×5=700(m)

P地点からQ地点までは、
90×10=900(m)

よって、家からQ地点までは、
700+900=1600(m)
となります。

よって、x=15のときy=1600となりますので、これを①の式に代入します。

1600=200×15+b
b=1600-3000
=-1400

よって求める式は、
y=200x-1400・・・②

(3)

まず最初に妹の歩く速さを求めます。問題文より、出発する6分前にQ地点にいたということは、グラフの座標では、点(-6,1600)に当たります。また、妹にAさんが追いついた地点の座標は点(22,3000)となりますので、妹は28分で1400m進んだことになります。

よって妹の速さは、
1400÷28=50(m/分)
となります。

次に、妹がQ地点から同じ道を戻った場合の式を考えます。

式をy=ax+bとおくと、同じ速さで戻ったので、
a=-50
となります。この値を代入した、
y=-50x+bの式に、
妹がQ地点にいた座標の値(x=-6,y=1600)を代入します。

1600=-50×(-6)+b
b=1600-300
=1300

よって、妹が同じ道を戻った時の直線の式は、
y=-50x+1300・・・③
です。

最後に、この式を実際にグラフ上に引いてみます。すると、AさんがP地点からQ地点を移動しているときの直線と交わります。その交点のxの値が「何分何秒」の答えになります。

AさんがP地点からQ地点までの直線の式をy=ax+bとすると、分速90mで歩いたので、a=90。

y=90x+bの式は点(5,700)をとおるので、その値を代入します。
700=450+b
b=250
よって、
y=90x+250・・・④

③-④
0=-140x+1050
x=1050/140=105/14=15/2=7.5

7.5分は7分30秒ですので、答えは、「午後1時7分30秒」です。


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