民報チャレンジ(数学12) 確率、図形、作図など

【1】計算問題

説明する必要を感じませんので、省略します。

【2】

(1)資料の整理

度数の総和が40になればよいので、
(ア)=40-(1+2+4+11+9+6)=7

中央値は少ないほうから数えて、20番目と21番目の平均の値になります。

読んだ本の冊数を少ないほうから10人ごとに並べてみると、

0112222333
3333333344
4444444555
5555666666

となり、20番目、21番目共に4冊なので、中央値は4冊です。

(2)図形、確率

1から7までのカードから2枚を取り出す、取り出し方は21とおり。

点Aを含む頂点を結んだ三角形が直角三角形となるのは、
(1,4)(2,4)(3,4)(5,4)(6,4)(7,4)…①
(1,5)(2,6)(3,7)…②
9とおり。

よって求める確率は21分の9を約分して7分の3

※これは、正八角形の頂点をとおる円があると考えて、円周角の定理を使った方が理解しやすいですね。

具体的に言うと、向かい合った頂点(たとえばAと4)が円の直径になるので、Aと4を結んだ直線を三角形の一辺とすると、残りの頂点はどこを選んでも、その三角形は直角三角形になります。この場合は6とおりあります。(①)

あと、点Aが円の直径にならない場合を考えます。円の直径になるのは1と5、2と6、3と7を結んだ場合3とおりです。(②)

よって前述のように、直角三角形ができるのは9とおりになります。

(3)作図

・半円Oの直径を伸ばし、直線lと交わった箇所にできる「角をうつす」
という作図の仕方で出来ます。

(4)合同の証明

解答欄参照のこと。三角形の内角の和が180度、角BEGは直線なので角度は180度ということから、合同条件を導き出します。


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