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民報チャレンジ(数学11) 連立方程式の利用など

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民報チャレンジ数学11回目の解説です。今回は、連立方程式の利用がメインです。最近の入試傾向に沿って、問題が2問出題されています。この前の7月の新教研もぎテストでも、連立方程式の利用は、大問の中に2問出題され、配点が6点と以前より2点増えています。今後もこの傾向は続くと予想されます。今回の連立方程式の問題は複雑というわけではないので、しっかり読んで、問題の内容を理解しましょう。

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【1】

(1)計算問題のため省略

(2)式の値

x2-y2=(x+y)(x-y)として値を代入します。
x+yが2ルート2、x-yが2なので、4ルート2になります。

(3)直線の式

x軸に平行ということは、xがどの値をとろうが、yの値は切片に等しいということです。
y=ax+bとおくと、a=0の式になります。問題では点(3,2)をとおるので、切片が2となり、直線の式はy=2

(4)確率

6個のうち、当たりをa1、a2、はずれをb1、b2、b3、b4とすると、くじを2本引く組み合わせは、(a1,a2)(a1,b1)(a1,b2)(a1,b3)(a1,b4)(a2,b1)(a2,b2)(a2,b3)(a2,b4)(b1,b2)(b1,b3)(b1,b4)(b2,b3)(b2,b4)(b3,b4)の15とおり。

少なくとも1本が当たりなのは、(a1,a2)(a1,b1)(a1,b2)(a1,b3)(a1,b4)(a2,b1)(a2,b2)(a2,b3)(a2,b4)の9とおり。

よって求める確率は9/15=3/5(5分の3)

(5)立体の体積

問題より、球の直径は立方体の1辺の長さに等しい。半径はその半分なので3/2(2分の3)。球の体積は、
4/3π×(3/2)3=9/2π(2分の9π)

【2】連立方程式の利用

(1)

定価に個数をかけます。
200×a+150×b+120×2=200a+150b+240

(2)①ア

定価200円の20%引きの値段を求めます。20%引きということは、定価の80%のことなので、200円に0.8をかけて、160円となります。

(2)①イ

14という数字から、商品の個数とわかりますので、個数の合計を表す式を作ります。この場合、商品Aをa個、商品Bをb個とするので、a+bとなります。

(2)①ウ

2000という数字から、合計金額とわかります。買った金額を表す式を作ります。この場合、商品Aは160円、商品Bは150円ですので、160a+150bとなります。

(2)②

□1の方程式を解く
a+b=14…①
160a+150b=2000…②

②-①×150
160a+150b=2000
150a+150b=2100
a=-10…③
③を①に代入
b=14+10=24
この方程式の解は0<a<14,0<b<14なので、適さない。

□2商品Aと商品Cを選んだ買い方の場合の式の立て方は、
a+c=14…①
160a+120c=2000…②

②-①×120
160a+120c=2000
120a+120c=1680

40a=320
a=8…③
③を①に代入
c=14-8=6
これは、問題に適する。
よって、商品Aと商品Cを選び、商品Aを8個、商品Cを6個買った。

【3】関数とグラフ

(1)

反比例の比例定数は、(xの座標)×(yの座標)なので、a=1×1=1

(2)

原点を回転の中心とした場合、点対称移動すると、
(a,b)から(-a,-b)にうつる。よって、点(1,1)は点(-1,-1)に移動します。
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