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平成29年度県立高Ⅱ期選抜問題解説【数学】

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平成29年度県立高Ⅱ期選抜問題解説【数学】

昨日行われた入試問題の解説をしてみます。

ただし、簡単な問題や、模範解答がある問題は省略します。
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1.(2)図形の移動

正三角形の内角は60°なので、120°反時計回りは2個分移動します。よってウとなります。

2.(3)多角形の角の和

ア・・・式の「7」は三角形の数なので、三角形の内角の和180°をいれます。
イ・・・点Pを中心とする角度なので360°を入れます。

2.(4)1次関数

2分ごとに6㎝ずつ減っていきますので、1分では3㎝減ります。
残りの深さ15㎝では5分かかるので、10分に5分を足して15分になります。

2.(5)円錐の体積

底辺が8㎝で面積が36㎝2の高さは
8×(高さ)×1/2=36から高さ=9㎝
底面の円の半径は4㎝なので、求める体積は、
4×4×π×9×1/3=48πcm3となります。

3.(1)確率

①Aが1個の玉を取り出すのは5通り。そのうち青玉を取り出すのは2通り。
よって、求める確率は5分の2

②玉を赤1、赤2、青1、青2、白とした場合、樹形図を描いてみれば20通りの組み合わせがあります。そのうち、青1、青2を含むすべての組み合わせが14通りあります。
よって、求める確率は20分の14=10分の7になります。

また、別の解き方として、全体からA,Bの2人とも青玉以外の玉をとる確率を引けば求められます。
その場合、(A,B)の取り方は(赤1、赤2)、(赤1、白)、(赤2、赤1)、(白、赤1)、(白、赤2)の6通りですから、
1-6/20=14/20=7/10としてもいいですね。

3.(2)資料の整理

②3年の人数は100人、中央値は通学時間の短い方から50番目と51番目の平均の値になります。
ですから、50番目と51番目はどの階級にあるかを考えます。
階級のそれぞれの人数を足していくと、
5+13=18
5+13+19=37
5+13+19+24=61と、ここで51を超える事から24人のところの通学時間を答えればいいですね。15分以上20分未満となります。

③理由の例が記載されているので省略します。

4.連立方程式の利用

(1)解答例があるので省略します。
(2)グラフの縦軸(m)をy、横軸(分)をxとします。
はやとさんのグラフはx=32のとき、y=1500+900=2400なので、
y=axに代入すると、a=2400÷32=75より、y=75xになります。
問題文よりy=1500の時のxを求めますので、x=1500÷75=20で20分となります。

5.三角形の合同の証明

証明は解答例が2つあるので省略します。

6.放物線と1次関数のグラフ

(1)

点Aのy座標を求めます。
直線lを通るので、x=-1を代入しy=-(-1)-3/2=-1/2
次に点Aの座標x=-1,y=-1/2をy=ax2に代入します。
よってa=-1/2になります。

(2)①

点Pのy座標はx=2をy=-1/2x2に代入して、y=-2
点Qのy座標が-2、点Qは直線l上にありますので、y=-2をy=-x-3/2に代入するとx=1/2
よって点Q(1/2、-2)

(2)②

点Pのy座標を求めます。
点Pは放物線上にあるので、x=tをy=-1/2x2に代入します。
すると、y=-1/2t2となります。これは点Qのy座標と同じ値になります。
次に、点Qのx座標を求めます。
点Qは直線l上にあるので、y=-1/2t2を代入すると、
-1/2t2=-x-3/2より、x=1/2t2-3/2となります。
よって、PQ=(点Pのx座標)-(点Qのx座標)=t-(1/2t2-3/2)=-1/2t2+t+3/2・・・①
次にQRの長さを求めます。
AR=AQから△AQRは二等辺三角形になります。点Aから線分RQに垂線を下ろし、交点をCとすると、RC=CQとなります。
点Cのx座標は点Aと同じですのでCQ=(点Qのx座標)-(点Aのx座標)=1/2t2-3/2-(-1)=1/2t2-1/2
QR=CQ×2=t2-1・・・②
①=②より、3t2-2t-5=0
これを解いて、t=5/3、-1
t=-1は1<t<3より不適。よってt=5/3(3分の5)となります。

7.空間図形

(1)

△ODCと△OFEは相似比3:2の図形ですので、
DC:FE=3:2,DC=6より、FE=4

(2)


△OABは二等辺三角形なので、OM⊥AB。
問題文よりAM=3、三平方の定理よりOM2=OA2-AM2=27-9=18よりOM=3ルート2
同様にON=3ルート2
よって、△OMNはOM=ON=3ルート2、MN=6の二等辺三角形となります。
MNの中点は点Oから辺MNに引いた垂線となるので、三平方の定理より、
(垂線)2=OM2-32=18-9=9、よって垂線の長さはルート9=3になります。
よって、求める面積は6×3×1/2=9

(3)


まず△OBC内のBEの長さを求めます。
△OBCの面積は、△OABの面積に等しいので、6×3ルート2×1/2=9ルート2
また、OE:EC=2:1より、△OBEの面積は△OBCの3分の2なので、6ルート2
次に辺OEを底辺とした時の高さを求めます。点Bから辺OEに垂線を引き交点をPとすると、OE×BP×1/2=6ルート2
BP=6ルート2×2÷OE=12ルート2÷2ルート3=2ルート6
すると、OP2+BP2=OB2となり三平方の定理が成立します。
よって、△OBEはOB=BE=3ルート3の二等辺三角形だという事がわかります。


次にONとFEの交点をQとして、MQの長さを求めます。
MQ2=BE2-12=27-1=26よりMQ=ルート26

(※追加:MQの長さを求める別解:こちらの方が簡単に求められます)

点QからMNに垂線を下ろし、交点をRとすると、△QMNの面積は3なので、QR=1となります。
QR⊥MNより、△QRNは90°、45°、45°の直角三角形になるので、RN=1です。
MR=5なので、三平方の定理より、MQ2=MR2+QR2=26よりMQ=ルート26です。


今度は△OMQの面積を考えます。
OQ:QN=2:1となることから、△OMQの面積は△OMNの面積の3分の2で6です。
MQ=ルート26という事から、点OからMQへ垂線を引き、その長さを求めます。
(垂線の長さ)×ルート26×1/2=6より
(垂線の長さ)=6×2÷ルート26=12÷ルート26となります。

この垂線の長さが四角錐の高さになります。

台形ABEFの面積は(4+6)×ルート26×1/2=5ルート26
よって求める体積は、
5ルート26×(12÷ルート26)×1/3=20となります。
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