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福島民報力だめし(2016数学46)~総合問題~

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福島民報力だめし(2016数学46)~総合問題~

数学の46回目、おそらく最後の回になりますね。

計算問題から図形までの総合問題となっています。

ボリュームがあるので、【1】の計算問題は省略して【2】から解説します。
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【2】連立方程式の文章題

昨日の商品Aをx個、商品Bをy個とする。
合わせて400個なので
x+y=400・・・①
今日の商品Aの個数は昨日より30%多いので1.3x
今日の商品Bの個数は昨日より10%少ないので、0.9y
商品Bの方が商品Aより8個多いので、
1.3x+8=0.9y・・・②
②×10+①×9
13x-9y=-80
9x+9y=3600

22x=3520
x=160・・・③
③を①に代入してy=240

よって
今日の商品Aの個数は160×1.3=208
今日の商品Bの個数は240×0.9=216

【3】方程式の文章題(面積)

(1)

直角二等辺三角形PQRは1秒で0.5cm移動するので、x秒後では0.5xcm移動します。
△SBRと△PQRは相似なので△SBRは直角二等辺三角形。
よって、BR=SB=0.5xとなります。

△SBRの面積yは
y=1/2×BR×SB=1/2×0.5x×0.5x=1/8x2

(2)

x=4を(1)の式に代入します。
y=1/8×4×4=2

【4】1次関数のグラフ

(1)

点Aは関数y=2x上にあるので、x=tを代入、y座標は2t

(2)

ABの長さは点Aのy座標と等しいので2t
ACの長さは(点Pのx座標)-(点Aのx座標)なので、6-t

(3)

2t>0、6-t>0よりtの変域は、0<t<6

(四角形ABPCの面積)=AB×ACより
2t(6-t)=10

-2t2+12t-10=0
t2-6t+5=0

(t-1)(t-5)=0
t=1,5

これはtの変域に合うので、
t=1のとき点A(1,2)
t=5のとき点A(5,10)

【5】空間図形(正四面体)

(1)

まず△OBCの面積を求めます。
△OBMは30°、60°、90°の直角三角形なので、辺の比は
BM:OM=1:ルート3

BM=3なので、OM=3ルート3

よって△OBCの面積は6×3ルート3×1/2=9ルート3
正四面体なので、9ルート3×4=36ルート3

(2)

(1)よりOM=3ルート3、またAMもOMと同じ3ルート3ですね。

すると△OMAはOM=AM=3ルート3の二等辺三角形ということがわかります。

次にMから辺OAに垂線を引いて交点をNとすると、
MN2=OM2-ON2=27-9=18から
MN=3ルート2となります。

よって求める面積は、
6×3ルート2×1/2=9ルート2となります。

(3)

(2)から△OMAの面積は9ルート2

OからAMに垂線を引いて交点をPとすると、△OMAの面積は
OP×AM×1/2=9ルート2
と表せます。

(2)よりAM=3ルート3なので、
OP=9ルート2×2÷3ルート3=2ルート6

よって四面体の体積は
(△ABCの面積)×OP×1/3=9ルート3×2ルート6×1/3=18ルート2
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