福島民報力だめし（2016数学45）～図形～

力だめし45回目は図形に関する問題です。

【1】直角三角形になる三角形を選ぶ

三平方の定理にあてはまるものを選ぶ問題です。

a²+b²=c²の式に、3辺のうち一番長い辺をcに代入して、他の2辺をそれぞれa,bに代入して式が成立すればそれが答えです。

【2】正四角柱に関する問題

（１）ＥＧの長さ

三平方の定理を使います。

EG²=EF²+FG²よりFG=8ﾙｰﾄ2

別解として、△ＥＦＧは90°,45°,45°の直角三角形なので、辺の比から8ﾙｰﾄ2と求めてもいいですね。

（２）△ＥＩＧの面積

EI²=EF²+FI²よりEI=ﾙｰﾄ68

またＥＩ＝ＩＧなので、△ＥＩＧは二等辺三角形です。

Ｉから辺ＥＧに垂線をおろすと、その交点はＥＧを2等分するので、

Ｉからおろした垂線の長さは、6になります。

よって、△ＥＩＧの面積は8ﾙｰﾄ2×6×1/2=24ﾙｰﾄ2

（３）頂点Ｆから△ＥＩＧに引いた垂線の長さ

まず三角錐Ｆ－ＥＩＧの体積を求めます。

△ＥＦＧを底面にすると、高さはＦＩですので、体積は、
8×8×1/2×2×1/3=64/3・・・①

また、△ＥＩＧを底面にすると、高さがＦＪとなるので、体積は
24ﾙｰﾄ2×ＦＪ×1/3・・・②

①＝②よりこれを解いて、ＦＪを求めます。
ＦＪは3分の4ﾙｰﾄ2となります。

【3】証明問題（相似）

模範解答がありますので、省略します。

【4】三角柱と球

（１）三角柱の底面積

△ＡＢＣは二等辺三角形なので、【2】（２）と同じ解き方です。

Ａから辺ＢＣに垂線を下ろし、直角三角形を作って三平方の定理より垂線の長さを求めてください。

10²-6²＝64＝8²より、垂線の長さは8センチなので、△ＡＢＣの面積は
12×8×1/2＝48です。

（２）三角柱の体積

球が三角柱のどの面にも接して入っているので、
球の半径をrとして上からみると図のようになっています。

球の中心をOとすると、△ＡＢＣは△ＡＯＢ＋△ＡＯＣ＋△ＢＯＣとあらわせます。

△ＡＯＢ＝10×ｒ×1/2＝5ｒ
△ＡＯＣ＝10×ｒ×1/2＝5ｒ
△ＢＯＣ＝12×ｒ×1/2＝6ｒ

（１）より底面積は48なので、
16ｒ＝48よりｒ＝3

次に三角柱を横から見ると図の通り。

高さはｒ2つ分なので、
高さは3×2＝6

よって、体積は48×6＝288となります。
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