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福島民報力だめし(2016数学45)~図形~

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福島民報力だめし(2016数学45)~図形~

力だめし45回目は図形に関する問題です。

【1】直角三角形になる三角形を選ぶ

三平方の定理にあてはまるものを選ぶ問題です。

a2+b2=c2の式に、3辺のうち一番長い辺をcに代入して、他の2辺をそれぞれa,bに代入して式が成立すればそれが答えです。

【2】正四角柱に関する問題

(1)EGの長さ

三平方の定理を使います。

EG2=EF2+FG2よりFG=8ルート2

別解として、△EFGは90°,45°,45°の直角三角形なので、辺の比から8ルート2と求めてもいいですね。

(2)△EIGの面積

EI2=EF2+FI2よりEI=ルート68

またEI=IGなので、△EIGは二等辺三角形です。

Iから辺EGに垂線をおろすと、その交点はEGを2等分するので、

Iからおろした垂線の長さは、6になります。

よって、△EIGの面積は8ルート2×6×1/2=24ルート2

(3)頂点Fから△EIGに引いた垂線の長さ

まず三角錐F-EIGの体積を求めます。

△EFGを底面にすると、高さはFIですので、体積は、
8×8×1/2×2×1/3=64/3・・・①

また、△EIGを底面にすると、高さがFJとなるので、体積は
24ルート2×FJ×1/3・・・②

①=②よりこれを解いて、FJを求めます。
FJは3分の4ルート2となります。

【3】証明問題(相似)

模範解答がありますので、省略します。

【4】三角柱と球

(1)三角柱の底面積

△ABCは二等辺三角形なので、【2】(2)と同じ解き方です。

Aから辺BCに垂線を下ろし、直角三角形を作って三平方の定理より垂線の長さを求めてください。

102-62=64=82より、垂線の長さは8センチなので、△ABCの面積は
12×8×1/2=48です。

(2)三角柱の体積

球が三角柱のどの面にも接して入っているので、
球の半径をrとして上からみると図のようになっています。

球の中心をOとすると、△ABCは△AOB+△AOC+△BOCとあらわせます。

△AOB=10×r×1/2=5r
△AOC=10×r×1/2=5r
△BOC=12×r×1/2=6r

(1)より底面積は48なので、
16r=48よりr=3

次に三角柱を横から見ると図の通り。

高さはr2つ分なので、
高さは3×2=6

よって、体積は48×6=288となります。
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